Monte Carlo et sensibilité géométrique, modèle de transport de sensibilité
Nous cherchons à estimer les dérivées de formes de fonctions objectif définies pour l’étude de procédés énergétiques. Notre travail s’inscrit dans un contexte où les transferts radiatifs sont une composante majeure des modèles de transferts thermiques. Pour gérer la complexité géométrique de ces configurations d’ingénierie les modèles sont résolus en utilisant la méthode de Monte Carlo. Nous rappelons brièvement les facultés de la méthode de Monte Carlo à résoudre les modèles physiques, une fois exprimés sous leur forme intégrale, ainsi que son aptitude à estimer une fonction objectif et ses dérivées à partir d’un unique algorithme. Effectivement la formulation intégrale de la fonction objectif permet une réécriture intégrale de sa dérivée, qui lui est identique, seuls les poids de Monte Carlo des deux grandeurs sont différents. L’avantage de cette méthode est que l’estimation simultanée de ces grandeurs n’a pas d’influence sur le temps de calcul initialement dû à la seule estimation de la fonction objectif.
Dans ce contexte les dérivées de formes ont un statut particulier car les paramètres géométriques interviennent dans le domaine d’intégration de la fonction objectif. Il en découle que dans le cas particulier de perturbations géométriques, afin de garder l’avantage de l’estimation simultanée de la fonction et de ses dérivées, des manipulations mathématiques et de mise en œuvre algorithmiques sont nécessaires. Certaines de ces manipulations, notamment de mise en œuvre, rendent difficile l’application de la méthode en géométrie complexe.
Devant ces difficultés nous proposons une alternative pour l’estimation des dérivés de formes qui sont cette fois introduites dès l’écriture du modèle. Nous prenons l’exemple de grandeurs radiatives faisant intervenir la luminance, ce qui reporte la question à déterminer la dérivée de forme de la luminance, c’est à dire sa sensibilité à un paramètre géométrique. A partir de l’équation de transfert radiatif (ETR) nous construisons un modèle sur la sensibilité dans lequel le paramètre géométrique n’intervient qu’aux conditions aux limites.
Nous montrons que la sensibilité géométrique obéit strictement aux mêmes lois de transport que la luminance,ce qui implique que nous pouvons utiliser toute notre pratique de l’ETR pour aborder l’équation de transport de la sensibilité, la seule question reste à l’établissement des conditions aux limites. Dans ce travail il est établi que les conditions aux limites en sensibilité rendent compte des contributions du milieu semi-transparent et des conditions aux limites radiative lors d’une perturbation infinitésimale de la frontière. Il en résulte un couplage à la limite entre le modèle de transport de sensibilité et l’ETR. Nous mettons également en évidence l’existence de sources de sensibilité locales générées par les discontinuités des conditions aux limites radiatives.
Les conséquences de cette proposition sont de plusieurs types :
Lecture et interprétation intuitive de l’impact d’une perturbation de la géométrie sur l’évaluation d’une grandeur objectif radiative.
Résolution algorithmique propre à l’estimation de la sensibilité due au couplage de la condition à la limite avec l’ETR et aux discontinuités.
Ouverture du champs des configurations abordables, pour l’estimation des dérivées de formes, aux configurations à géométrie complexe avec des exemples, donnés dans ce travail, qui illustrent ce constat.
doi : https://doi.org/10.25855/SFT2020-061
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