Construction de modèles d’ordre faible linéaires paramétriques basés sur un modèle conducto-radiatif 2D axisymétrique instationnaire par la méthode d’identification modale

L’objectif de ce travail est de développer des méthodes et des outils pour la caractérisation des propriétés thermophysiques de matériaux semi-transparents, notamment ceux rencontrés dans le secteur aéronautique. Cette étude présente la construction d’un modèle d’ordre faible linéaire paramétrique du modèle détaillé de référence (conducto-radiatif 2D axisymétrique instationnaire) à l’aide de la méthode d’identification modale (MIM) [1]. Un modèle d’ordre faible est composé d’un petit nombre de degrés de liberté, notamment par rapport aux modèles classiques issus d’une discrétisation spatiale des équations du problème. Un modèle d’ordre faible permet donc de réduire le temps de calcul par rapport au modèle de référence, pour des simulations directes comme pour la résolution de problèmes inverses.

Dans le modèle détaillé de référence, les transferts radiatifs sont traités par la méthode P1 [2] et le bilan d’énergie est résolu par la méthode des volumes finis. Le modèle est destiné à modéliser une expérience de type « méthode flash ». Les faces, considérées noires, peuvent être isolées ou soumises à des conditions aux limites convectives. Le « flash » est modélisé par un flux imposé localement sur une durée correspondant aux conditions d’expérience.

Sous l’hypothèse de faibles variations de température, les équations non-linéaires du problème sont tout d’abord linéarisées et la formulation générale d’un modèle d’ordre faible linéaire paramétrique est développée. La conductivité thermique λ et le coefficient d’absorption effectif κa sont des paramètres explicites, la condition aux limites de type flux imposé sur la face avant est l’entrée du modèle et l’évolution de la température au point central de la face avant est choisie comme sortie. Une série de modèles d’ordre faible est ensuite construite à travers la minimisation d’un écart quadratique entre températures issues du modèle de référence et réponses du modèle d’ordre faible, pour différents couples (λ, κ) et pour un signal de densité de flux donné.

Enfin, les modèles d’ordre faible linéaires paramétriques sont testés pour d’autres valeurs de λ et κ, d’abord avec le signal de densité de flux utilisé pour l’identification, ensuite avec un signal de flux différent. Les résultats montrent que dans la phase de construction et la phase de validation, la réponse en température des modèles d’ordre faible approche de mieux en mieux la température obtenue par le modèle de référence lorsque l’ordre m du modèle d’ordre faible (i.e. le nombre de ddl) augmente. L’écart quadratique moyen entre modèles d’ordre faible et modèle de référence est du même ordre de grandeur pour les deux phases, montrant la robustesse des modèles d’ordre faible identifiés. Le second test de la phase de validation correspond à des élévations de température maximales aux limites de validité de l’hypothèse de linéarité des transferts.

L’une des perspectives est d’utiliser les modèles d’ordre faible linéaires paramétriques pour l’estimation des propriétés thermo-physiques (λ, κ) à travers la résolution d’un problème inverse, soit par une méthode globale stochastique comme par exemple un algorithme PSO, soit par une méthode locale déterministe, de type gradient par exemple.

[1] M. Girault, D. Petit, and E. Videcoq. Identification of low-order models and their use for solving inverse boundary problems. Thermal Measurements and Inverse Techniques, éditeur H.R.B Orlande et al., pages 457–506, 2011

[2] M.F. Modest, “Radiative heat transfer, third ed.”, Academic press, Elsevier, 2013

doi : https://doi.org/10.25855/SFT2020-050

PDF : download